Un événement simple se révèle fascinant : un homme ivre marchant au hasard dans un plan à deux dimensions finit toujours par retrouver son domicile. Ce phénomène s’appuie sur un résultat mathématique ancien, le théorème de Pólya. Celui-ci démontre que dans un espace à une ou deux dimensions, une marche aléatoire est dite récurrente, c’est-à-dire que le marcheur revient presque sûrement à son point de départ, quelle que soit la longueur de la promenade.
Cette idée s’enracine dans la théorie des probabilités développée depuis le début du XXe siècle. Initialement, il était observé empiriquement que les marcheurs sur une ligne droite (dimension 1) ou un plan (dimension 2) reviennent toujours à l’origine. Les travaux mathématiques ont prouvé que cette certitude disparaît dès que l’on passe en dimension trois, un espace où la marche aléatoire devient transiente. En clair, un oiseau ivre volant dans un espace tridimensionnel a une probabilité non nulle, voire certaine à long terme, de ne jamais revenir à son point de départ.
Le théorème est fondé sur des calculs probabilistes et combinatoires qui montrent que la somme des probabilités de retour à l’origine diverge dans les espaces à 1 ou 2 dimensions et converge en dimension 3 et plus. Ainsi, la nature même de l’espace influence le comportement du hasard dans les déplacements. Cette différence explique en termes simples pourquoi un homme ivre perdu sur un plan fini a, dans un sens probabiliste, une assurance de rentrer chez lui, contrairement à un oiseau errant dans le volume de l’espace qui risque de ne plus jamais revoir son nid.
